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标题: delta and gamma hedge [打印本页]

作者: 闲云野鹤    时间: 2021-7-17 20:41
标题: delta and gamma hedge
本帖最后由 闲云野鹤 于 2021-7-17 21:26 编辑

https://www.zhihu.com/question/26108835

期权价格和股价(stock)和波动(volatility)有关,这时候用大一高数课学的taylor expansion, 把期权价格变化写成一个表达式。


其中第一项就是delta, 第二项就是gamma, taylor approximation 告诉我们delta会account for大部分期权价格变动,所以想要对股价不敏感的话首先必须delta neutral, 股价变动非常小的时候后面的二阶项基本忽略不计,可以大致认为是一个线性关系。但是变动较大的时候第二项不能不看了,这时候就显然不是线性的了,所以要再想办法把gamma变零,也就是gamma hedging。


假设股票价格只受到两个因素影响:
一是市场因素,(因素A),指数下跌会迫使股价下降。
二是公司治理能力(因素B),优秀的公司治理能力使得股价上升。

做一个简单的减法,把A因素消除,就剩下B因素

具体操作:在持有一定数量股票的情况下,减去一个A因素(即买入一个负的A因素,这里我们选择卖空一定数量的指数ETF,简单来说就是指数下跌了你就赚钱,反之亦然)。具体需要卖空多少,取决于A因素与股价的相关性。持股总金额与卖空总金额之比,我们称之为对冲比率(Hedge Ratio)。
经过这个操作,你会发现,无论指数(A因素)上升或下跌,只要公司治理能力如既往地优秀,你就永远可以享受正的收益,实现旱涝保收。

对冲的意义,在于消除自己不想要的不确定性,从而保留自己有信心(确定性)的因素。

什么是Delta对冲?
上面所说的对冲看起来是多么的美好呀,但实际操作起来却很困难。
所谓的Delta,广义上(不局限于期权),在这里我们可以理解“线性的影响”,即指数每上升1元,会使股价上升n倍的1元。(如下图蓝色线条所示,这里n=1.5),即每购买1股股票需要卖空1.5份指数。此时我们完成一次简单的线性对冲。(让delta=0)

什么是Gamma对冲?
所谓Gamma,这里指的是“影响的速度”,在图表中往往表示为曲线的凹凸性,正Gamma表示“增加或下降地更快”,负Gamma表示“增加或下降地更慢”。(下图绿色线条表示正delta+正gamma)





当股价不同时,我们需要购买的对冲工具ETF数量也不同(绿色曲线每一点上的斜率都不同),我们再也不能轻松愉快地进行delta对冲了。

你会发现,绿色曲线与蓝色曲线的差异在于弧度,因此,只要找到一个具有相同弧度的资产,减掉它,我们就可以消除弧度的影响了。(相当于找到一个力,把绿色的曲线掰回蓝色的直线,完成gamma=0的对冲,然后再计算一下要买/卖多少份对冲工具,完成delta=0对冲,进而完成完全的免疫)。

Gamma对冲的总结:通过构建,让对冲工具与原资产的相关性重新变为线性相关,从而可以方便地进行我们一开始的对冲。

另外~大家可以看一下,小范围的波动蓝线和绿线是几乎重叠的,所以小幅度的变动我们可以忽略gamma的影响,但如果波动幅度大的话,绿线和蓝线的偏离就会很大啦,此时我们就要对冲gamma。


Delta对冲,就是用交易标的股票使组合总体Delta为零,从而使组合价值不会因标的价格变化而变化,也就是使组合的Delta为中性。
但是严格意义上来讲,组合的Delta中性,只是仅仅针对对冲完成时标的价格而言。我们知道,期权的Delta相对于标的价格是不稳定的。一旦标的价格变化,期权的Delta会随之变化,而组合的总体Delta不能继续保持为中性。Gamma正是用来描述期权Delta随标的价格变化而变化的幅度的。
以看涨期权(合约单位100)为例。假设一个平值期权的Delta为50%,也就是对冲次期权需要卖出50股标的股票;标的价格¥100,该期权的Gamma值为10。 假设我们买入一个看涨期权,并卖出50股标的实现对冲,使组合总体Delta为中性。Gamma值为10意味着当标的价格上升或下降¥1时,期权Delta会上升或下降10个百分点。所以如果标的价格下降¥1,此时期权Delta应当变为40%;而之前卖出50股标的的空仓就太多了,我们需要买回10股,从而使组合的总体Delta重新为零。反之,如果标的价格上升¥1,此时期权Delta为60%,之前对冲的50股空仓就不足了,我们需要再卖出10股,从而使组合Delta回到中性。注意上面两种操作中,我们都是低买高卖,也就是说为保持组合Delta中性,通过Gamma计算对冲量,进而调整的过程会带来盈利。这个例子是针对买入看涨期权。我们知道,买入期权会获得正的Gamma,卖出期权会获得负的Gamma。而只有Gamma为正时,Gamma对冲过程才是盈利过程;当Gamma为负时,Gamma对冲过程却是亏损过程。









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