delta and gamma hedge

闲云野鹤

https://www.zhihu.com/question/26108835

期权价格和股价(stock)和波动(volatility)有关，这时候用大一高数课学的taylor expansion, 把期权价格变化写成一个表达式。


其中第一项就是delta, 第二项就是gamma, taylor approximation 告诉我们delta会account for大部分期权价格变动，所以想要对股价不敏感的话首先必须delta neutral, 股价变动非常小的时候后面的二阶项基本忽略不计，可以大致认为是一个线性关系。但是变动较大的时候第二项不能不看了，这时候就显然不是线性的了，所以要再想办法把gamma变零，也就是gamma hedging。

假设股票价格只受到两个因素影响:
一是市场因素，（因素A），指数下跌会迫使股价下降。
二是公司治理能力（因素B），优秀的公司治理能力使得股价上升。

做一个简单的减法，把A因素消除，就剩下B因素

具体操作：在持有一定数量股票的情况下，减去一个A因素（即买入一个负的A因素，这里我们选择卖空一定数量的指数ETF，简单来说就是指数下跌了你就赚钱，反之亦然）。具体需要卖空多少，取决于A因素与股价的相关性。持股总金额与卖空总金额之比，我们称之为对冲比率（Hedge Ratio）。
经过这个操作，你会发现，无论指数（A因素）上升或下跌，只要公司治理能力如既往地优秀，你就永远可以享受正的收益，实现旱涝保收。

对冲的意义，在于消除自己不想要的不确定性，从而保留自己有信心（确定性）的因素。

什么是Delta对冲？
上面所说的对冲看起来是多么的美好呀，但实际操作起来却很困难。
所谓的Delta，广义上（不局限于期权），在这里我们可以理解“线性的影响”，即指数每上升1元，会使股价上升n倍的1元。（如下图蓝色线条所示，这里n=1.5），即每购买1股股票需要卖空1.5份指数。此时我们完成一次简单的线性对冲。（让delta=0）

什么是Gamma对冲？
所谓Gamma，这里指的是“影响的速度”，在图表中往往表示为曲线的凹凸性，正Gamma表示“增加或下降地更快”，负Gamma表示“增加或下降地更慢”。（下图绿色线条表示正delta+正gamma）





当股价不同时，我们需要购买的对冲工具ETF数量也不同（绿色曲线每一点上的斜率都不同），我们再也不能轻松愉快地进行delta对冲了。

你会发现，绿色曲线与蓝色曲线的差异在于弧度，因此，只要找到一个具有相同弧度的资产，减掉它，我们就可以消除弧度的影响了。（相当于找到一个力，把绿色的曲线掰回蓝色的直线，完成gamma=0的对冲，然后再计算一下要买/卖多少份对冲工具，完成delta=0对冲，进而完成完全的免疫）。

Gamma对冲的总结：通过构建，让对冲工具与原资产的相关性重新变为线性相关，从而可以方便地进行我们一开始的对冲。

另外~大家可以看一下，小范围的波动蓝线和绿线是几乎重叠的，所以小幅度的变动我们可以忽略gamma的影响，但如果波动幅度大的话，绿线和蓝线的偏离就会很大啦，此时我们就要对冲gamma。

Delta对冲，就是用交易标的股票使组合总体Delta为零，从而使组合价值不会因标的价格变化而变化，也就是使组合的Delta为中性。

但是严格意义上来讲，组合的Delta中性，只是仅仅针对对冲完成时标的价格而言。我们知道，期权的Delta相对于标的价格是不稳定的。一旦标的价格变化，期权的Delta会随之变化，而组合的总体Delta不能继续保持为中性。Gamma正是用来描述期权Delta随标的价格变化而变化的幅度的。

以看涨期权（合约单位100）为例。假设一个平值期权的Delta为50%，也就是对冲次期权需要卖出50股标的股票；标的价格￥100，该期权的Gamma值为10。 假设我们买入一个看涨期权，并卖出50股标的实现对冲，使组合总体Delta为中性。Gamma值为10意味着当标的价格上升或下降￥1时，期权Delta会上升或下降10个百分点。所以如果标的价格下降￥1，此时期权Delta应当变为40%；而之前卖出50股标的的空仓就太多了，我们需要买回10股，从而使组合的总体Delta重新为零。反之，如果标的价格上升￥1，此时期权Delta为60%，之前对冲的50股空仓就不足了，我们需要再卖出10股，从而使组合Delta回到中性。注意上面两种操作中，我们都是低买高卖，也就是说为保持组合Delta中性，通过Gamma计算对冲量，进而调整的过程会带来盈利。这个例子是针对买入看涨期权。我们知道，买入期权会获得正的Gamma，卖出期权会获得负的Gamma。而只有Gamma为正时，Gamma对冲过程才是盈利过程；当Gamma为负时，Gamma对冲过程却是亏损过程。